温停眉，来是come去是go
其它答案都没回答到点上。楼主显然不是疑惑“国籍”和“中国的”之间如此浅显的区别，而是因为这三个根据语境都可以翻为“中国的”。
一般来说，China's 和 of China 表达的意思都是“属于中国的”。由于 of China 显得比较正式（而且字数更多适合装逼），正式写作时首选 of China，除非遇到以下的例外用 China's：
1. 将中国整体作为一个拟人角色或者独立实体（而非国家这样抽象的概念）看待时
2. 句子结构太复杂多一个介词 of 不够清爽时
Chinese 用来表示有中国属性（风味，血统，文化等等）的。
既然这里着重讲它们的区别，所以我会尽量举一些三者不同用法的例子，但是既然它们的意义很相似，例子也只是“更”适合，所以诸如“这里另种说法也可以”的评论就敬谢不敏了。
例1 拟人化时最好用 China's （常见于中国与他国谈判，互动，等等）
a. 中国在一战里的角色 = China's role in WWI
b. 中国的决心 = China's determination
c. 中国的回应 = China's response
d. 中国的份额 = China's share
e. 中国的参与 = China's participation
例2 其它表示“属于中国”的时候用 of China，除非句子不美观
a. 中国的未来 =the future of China
b. 中国的未来的问题 = the problem of the future of China
但是连着两个 of 甚无美感，所以正(chu)常(nv)人(zuo)一定都会改成 the problem of China's future 的。
例3 除了语言，国籍，其它表示“有着中国的特征/风味/文化/渊源/来历的”的也用 Chinese。基本上文化一类都在此列
a. 春节 = Chinese New Year
b. 中国文化 = Chinese culture
c. 中国神话 = Chinese mythology
例4 对比 Chinese 和 of China 的用法 -- food
a. 中餐 = Chinese food (很明显，是指中国风的食物，世界各地都有，不属于中国)
b. 中国美食 = the food of China (这种说法就是要强调在中国境内才能找到的食物了)
例5 对比 Chinese 和 of China 的用法 -- history books
a. 中国的历史 = history of China
b. 顺便比较：
b.1 Chinese history books: Chinese 和 history 都是形容 book 的，所以是“中文写的历史书”
b.2 China's history books: 这个说法有点奇怪，但是非要解释的话，是“中国使用的历史书”
b.3 books on the history of China: 这个才是“写中国历史的书”